Картинка для привлечения внимания, но относящаяся к теме.
Привет, хабр!
Хотите немного размять свои мозги? «Жили-были древние греки. Хорошо жили, потому что вместо них трудились рабы. И было древним грекам очень скучно: работать не привыкли, заняться нечем. Смастерили лиру для музицирования, придумали театр, геометрию, математику, философию и прочие науки, а развлечений всё равно не хватало.
И тут на помощь страждущим пришёл Зенон Элейский с его так называемыми апориями - парадоксами, предназначенными для изрядной нагрузки на мозги современников.
Современники возрадовались: теперь можно было не просто бездельничать, а долго и упорно размышлять над предложенными парадоксами, которые, к тому же, отчасти оправдывали лень».
В самом деле, если движения не существует в принципе, то зачем зря стараться, куда-либо идти и что-то делать, достаточно просто лежать на травке под акациями и мудрствовать лукаво над тайнами Вселенной.
Заинтересовало? Добро пожаловать под хабракат (привёл несколько ссылок на учебники квант.физики).
Почему движения не существует? Сие умозаключение проистекает из знаменитого парадокса, названного «стрела Зенона». Суть в том, что стрела в полёте остаётся неподвижной в каждый отдельно взятый момент времени. Как на фотографическом снимке. Значит, на самом деле… никуда не летит. А если и летит, то только с точки зрения наблюдающих за ней.
В 1958-м году в СССР о данном парадоксе вспомнил Леонид Халфин. В отличие от древних греков, Халфин занимался делом - исследовал вопросы квантовой физики. И выдвинул совершенно мистическую гипотезу. Сначала перескажу её «птичьим» языком. При условии дискретности энергетического спектра , распад квантовых состояний зависит от частоты измерений напрямую. Если наблюдать за нестабильной частицей достаточно часто, то она не распадётся вообще.
Теперь - нормальным языком. Если на нестабильную частицу никто не смотрит, то она обижается от отсутствия внимания к своей персоне и распадается. Но не распадётся до тех пор, пока хоть кому-нибудь интересна. Ибо сам факт наблюдения способствует продлению существования наблюдаемой сущности. Стрела Зенона является летящей до тех пор, пока мы видим, как она летит.
Через двадцать лет американцы решили продолжить исследования своего советского коллеги. В частности, физики Джордж Сударшан и Байдьянат Мизра. Именно они в 1978-м обозначили явление как «Квантовый парадокс Зенона», назвав так свою статью. А в 1989-м поползли слухи о том, что сей эффект якобы подтверждён экспериментально. Видимо, кто-то очень долго пялился на кванты, не позволяя им кануть в небытие.
Оказывается, действию эффекта подвержены не только квантовые состояния чего бы то ни было, но даже распад радиоактивных частиц. Якобы частица то ли распадается медленнее, то ли становится вообще вечной, если рядом с ней поместить счётчик Гейгера или подобный датчик.
Жаль, не хватило датчиков, дабы завалить ими Чернобыльскую АЭС и таким образом ликвидировать последствия аварии…"
Вот так пишут гуманитарии для гуманитариев. Про выводы я помолчу, если захотите, сами прочитаете
Но там вспомнили про то, что Тесла верил в теорию эфира, говорят, что она верна, что теорию относительности ещё не доказали и что один никому не известный советский учёный всё уже доказал: «Учёные просто зарабатывают на коллайдере».
Ох, в действительности, подобное поведение следует из уравнения Шрёдингера.
Если рассматривать вероятность распада радиоактивной частицы, как мы привыкли: w=1 - exp(-t/T), то вероятность распада, если мы измеряем N раз - не меняется.
w=1 - exp(-t/NT)^N=1 - exp(-t/T).
Если же мы будем рассматривать поведение волновой функции в том же процессе, используя уравнение Шрёдингера, то мы увидим зависимость от числа измерений. Более того, при устремлении числа измерений к бесконечности (непрерывном измерении) частица не будет распадаться.
Есть ещё более простое объяснение, без математики, следующее из работ Джона фон Неймана, в частности из гипотезы о существовании редукции фон Неймана(коллапс волновой функции) . Это явление мгновенного изменения волновой функции при измерении на собственный вектор.
Поэтому, если часто производить измерения, время на то, чтобы изменить состояние уменьшается, квантовая частица остаётся в своём состоянии.
К примеру, частица может перейти в возбуждённое состояние, тогда наблюдение уменьшит вероятность перехода.
Более сложный и интересный пример: атом переходит из возбуждённого состояния (1) в ещё более высокоэнергетичное (2), откуда может перейти в основное состояние (3) с испусканием фотона определённой частоты. Даже возможность наблюдать этот фотон, не обязательно его наблюдение, говорит о том, что чем вероятнее переход 2-3, тем менее вероятен переход 1-2. Можете прочитать это
Эффект может быть применим для «заморозки» атома в нужном квантовом состоянии, чтобы квантовый компьютер мог считывать информацию, возможно использование для производства коммерческих атомных магнитометров.
Многие считают этот эффект основой мышления людей и уникальной особенности птиц ориентироваться по магнитному полю Земли.
Говорят, группа учёных решила его применить для передачи информации быстрее скорости света.
Кто-то мечтает с его помощью защищать информацию от прочтения третьими лицами. Про это вы можете прочитать, пройдя по этой ссылке. Вообще, это почти неисчерпаемая тема, ведь эта тема имеет множество отсылок к другим темам и говорить об этом можно почти бесконечно.
Спасибо за внимание.
UPD: Спасибо пользователю sheknitrtch за показ ошибки и за перессылку её в диалоги.
Есть несколько формулировок парадокса, который утверждает, что движение невозможно. Ну помните, про невозможность обогнать черепаху, про вечное прохождение половины и про невозможности двигаться там где ты есть, и там, где тебя нет. Опровергну их логикой.
Есть еще четвертый парадокс, про колонны солдат идущих на встречу друг другу, который просто лажа какого-то тормоза, который 2+2 не смог посчитать. Вот так жестоко.
Итак, рассмотрим оставшиеся три варианта парадокса.
Чтобы пересечь расстояние от А до Б, сначала нужно преодолеть половину пути. Но затем нужно преодолеть половину того, что осталось, затем половину того, что осталось после этого, и так далее. Это прохождение половины от остатка пути будет продолжаться до бесконечности и, хотя, объект будет приближаться бесконечно близко к Б, но непосредственно в точку Б никогда не попадет.
Лажаем этот парадокс один простым утверждением: «пространство дискретно». Шо бы это значило для доярки Тони? А вот что. Это значит, между А и Б нет бесконечного количества геометрических умозрительных точек, в которых может находится тело, которое движется из А и Б. А есть конечное количество конкретных позиций, в которых это тело может находится. Т.е. если есть две соседние такие позиции, то тело может быть или в одной позиции или в другой, но не посередине. Переход между ними происходит моментально. Доярка Тоня дальше не поймет, поэтому может пропустить. Это тоже самое, что энергетические уровни в атоме. Электрон может быть или на одном или на другом уровне, но не по середине. Почему мы этой дискретности не видим? А потому шо она махонькая такая. 10 в степени минус 33, планковская длина, так сказать. Меньше таких величин наши доблестные законы физики перестают работать, так как там – полный хаос по нашему будет. Откуда я это взял? См. теорию суперструн. Это не фантастика, если кто не знает, а реальная физическая теория, которая кое-что уже помогла посчитать и люди, которые в ней работают стараются объединить все известные силы. Т.е., перефразируя на простонародный, создать «теорию всего» или «материнскую теорию».
Ахилл решил потягаться с черепахой в беге. Дал ей немного форы. Чтобы догнать черепаху, Ахиллу сначала нужно добежать до места ее старта. Но к тому моменту, как он туда доберется, черепаха проползет некоторое расстояние, которое нужно будет преодолеть Ахиллу, прежде чем догнать черепаху. Но за это время черепаха уползет вперед еще на некоторое расстояние. А поскольку число таких отрезков бесконечно, быстроногий Ахилл никогда не догонит черепаху.
Ну во-первых, не фига выпендриваться было и давать фору. Никогда не недооценивай черепаху. Во-вторых, рассмотрим этот вариант с позиции дискретного пространства. Ахилл более шустрый чувак и более энергичный. В данном случае, под энергичностью мы имеем ввиду способность Ахилла перескакивать от одной ячейки пространства к другой. Получается, например, чтобы перейти к следующей ячейке Ахиллу требуется всего 0.1 секунды (тормоз, но что поделать, если конечно кто понял), так как они накачивают свою материю движением более быстро. Черепаха же вообще убитая и энергетически никакая. Ей надо целую секунду, чтобы прокачать свою материю движением для перехода в следующую ячейку пространства. А до этого она все еще торчит в предыдущей. Т.е. пока она торчит в своей ячейки и накачивается для прыжка в следующую, Ахилл, уже прокачался движением 9 раз и перепрыгнул 9 ячеек. А черепаха все там же. Т.е. в большинстве случаев в этом соревновании неверна фраза «Но к тому моменту, как он туда доберется, черепаха проползет некоторое расстояние». Не проползет, не успеет. Поэтому он ее быстро догонит и перегонит.
Если что-то движется, то оно движется либо в том месте, которое оно занимает, либо в том месте, где его нет. Однако оно не может двигаться в том месте, которое оно занимает (так как в каждый момент времени оно занимает все это место), но оно также не может двигаться и в том месте, где его нет. Следовательно, движение невозможно.
Вот тут у меня тоже есть объяснение через дискретность пространства, но мне оно как-то не очень нравится, так как оно больше похоже на «сам дурак», чем на «а вот тут у вас ошибочка». Ну что поделать.
В общем, идея такая, что сама постановка вопроса не верна. Надо понять, что такое движение. В дискретном пространстве это процесс накопления некоторого потенциала к прыжку в следующую позицию и потом переход в другую позицию. Поэтому да, в процессе накопления объект занимает своей объем и не движется в нем, но потом он сразу, накопив нужное количество энергии движения, оказывается немного далее. Т.е. он не движется, там где его нет, он просто появляется там, где его нет. Вообще, некого бесконечно плавного движения просто нет.
А в этом парадоксе какая-то игра слов, «не может двигаться и в том месте, где его нет» - это просто прикол какой-то. Он движется не ТАМ, он движется ТУДА и может занять то пустое пространство.
Вот так, дискретное пространство устраняет парадоксы.
Зенон Элейский - греческий логик и философ, который в основном известен по парадоксам, названным в его честь. О его жизни известно не очень много. Родной город Зенона - Элея. Также в трудах Платона упоминалась встреча философа с Сократом.
Примерно в 465 году до н. э. Зенон написал книгу, где подробно изложил все свои идеи. Но, к сожалению, до наших дней она не дошла. Согласно легенде, философ погиб в бою с тираном (предположительно, главой Элеи Неархом). Всю информацию о Элейском собирали по крупицам: из трудов Платона (родившегося на 60 лет позже Зенона), Аристотеля и Диогена Лаэртия, написавшего три века спустя книгу биографий греческих философов. Упоминания о Зеноне есть и в трудах поздних представителей школы греческой философии: Фемистия (4 век н. э.), Александра Афродийского (3 век н. э.), а также Филопона и Симплиция (оба жили в 6 веке н. э.). Причём данные в этих источниках настолько хорошо согласуются между собой, что по ним можно реконструировать все идеи философа. В этой статье мы расскажем вам про парадоксы Зенона. Итак, приступим.
Ещё с эпохи Пифагора пространство и время рассматривались исключительно с точки зрения математики. То есть считалось, что они составлены из множества моментов и точек. Однако у них есть свойство, которое проще ощутить, чем определить, а именно «непрерывность». Некоторые парадоксы Зенона доказывают, что её невозможно разделить на моменты или точки. Рассуждение философа сводится к следующему: «Допустим, что мы провели деление до конца. Тогда верен только один вариант из двух: либо мы получим в остатке минимально возможные величины или части, которые неделимы, но бесконечны в своём количестве, либо деление приведёт нас к частям без величины, так как непрерывность, являясь однородной, должна быть делимой при любых обстоятельствах. Она не может быть в одной части делима, а в другой - нет. К сожалению, оба результата довольно нелепы. Первый из-за того, что процесс деления не может закончиться, пока в остатке есть части, имеющие величину. А второй потому, что в подобной ситуации изначально целое было бы сформировано из ничего». Симплиций приписывал данное рассуждение Пармениду, но более вероятно, что его автор - Зенон. Идём далее.
Они рассматриваются в большей части книг, посвящённых философу, поскольку вступают в диссонанс со свидетельствами чувств элеатов. Применительно к движению, выделяют следующие парадоксы Зенона: «Стрела», «Дихотомия», «Ахилл» и «Стадий». И дошли они до нас благодаря Аристотелю. Давайте рассмотрим их подробней.
Другое название - квантовый парадокс Зенона. Философ утверждает, что любая вещь либо стоит на месте, либо движется. Но ничто не пребывает в движении, если занимаемое пространство равное ему по протяжённости. В определённый момент движущаяся стрела находится на одном месте. Поэтому она не движется. Симплиций сформулировал этот парадокс в краткой форме: «Летящий предмет занимает равное себе место в пространстве, а то, что занимает равное себе место в пространстве, не движется. Следовательно, стрела покоится». Фемистий и Фелопон сформулировали аналогичные варианты.
Занимает второе место списка «Парадоксы Зенона». Он гласит следующее: «Прежде чем объект, который начал движение, сможет пройти определённое расстояние, он должен преодолеть половину данного пути, далее половину оставшегося и т. д. до бесконечности. Так как при повторных делениях расстояния пополам отрезок всё время становится конечным, а число данных отрезков бесконечно, то это расстояние невозможно преодолеть за конечное время. Причём данный довод справедлив как в отношении малых расстояний, так и больших скоростей. Следовательно, любое движение невозможно. То есть бегун даже не сможет стартовать».
Этот парадокс очень подробно прокомментировал Симплиций, указав, что в данном случае за конечное время нужно совершить бесконечное количество касаний. «Тот, кто чего-либо касается, может вести счёт, но бесконечное множество нельзя перебрать или сосчитать». Или, как сформулировал Филопон, бесконечное множество неопределимо.
Также известен, как парадокс черепахи Зенона. Это наиболее популярное рассуждение философа. В движения Ахиллес состязается в беге с черепахой, которой на старте даётся небольшая фора. Парадокс в том, что греческому воину не удастся догнать черепаху, так как сначала он добежит до места её старта, а она уже будет на следующей точке. То есть черепаха постоянно будет впереди Ахиллеса.
Этот парадокс очень похож на дихотомию, но здесь бесконечное деление идёт сообразно прогрессии. В случае же дихотомии была регрессия. К примеру, тот же бегун не может стартовать, потому что не может покинуть своего местонахождения. А в ситуации с Ахиллом, даже если бегун тронется с места, он всё равно никуда не прибежит.
Если сравнивать все парадоксы Зенона по степени сложности, то этот вышел бы победителем. Он труднее прочих поддаётся изложению. Симплиций и Аристотель описали это рассуждение фрагментарно, и нельзя со 100 % уверенностью полагаться на его надёжность. Реконструкция данного парадокса имеет следующий вид: пусть А1, А2, А3 и А4 являются неподвижными телами равного размера, а Б1, Б2, Б3 и Б4 - это тела того же размера, что и А. Тела Б движутся вправо так, что каждое Б минует А за одно мгновение, являющееся наименьшим промежутком времени из всех возможных. Пусть В1, В2, В3 и В4 - тела идентичные А и Б, и движутся относительно А влево, преодолевая каждое из тел за одно мгновение.
Очевидно, что В1 преодолело все четыре тела Б. Примем за единицу время, понадобившееся одному телу В для прохождения одного тела Б. В этом случае на всё передвижение понадобилось четыре единицы. Однако считалось, что два момента, прошедших за это передвижение, минимальны и потому - неделимы. Из этого следует, что четыре неделимых единицы равны двум неделимым единицам.
Итак, теперь вы знаете основные парадоксы Зенона Элейского. Осталось рассказать о последнем, который известен под названием «Место». Данный парадокс Зенону приписывает Аристотель. Похожие рассуждения приводились в трудах Филопона и Симплиция в 6 веке н. э. Вот как Аристотель рассказывает об этой проблеме в своей Физике: «Если существует какое-то место, то как определить, где оно находится? Затруднение, к которому пришел Зенон, требует объяснения. Поскольку всё существующее имеет место, то становится очевидным, что и у места должно быть место, и т. д. до бесконечности». По мнению большинства философов, парадокс здесь появляется только потому, что ничто из существующего не может отличаться от самого себя и содержаться само в себе. Филопон считает, что, акцентируя внимание на самопротиворечивости понятия «места», Зенон хотел доказать несостоятельность теории множественности.
/ Парадокс Зенона, или Ахилл и черепаха
Описание парадокса
Быстроногий Ахилл хочет поймать черепаху, которая находится на расстоянии 1 км от него. К тому времени, когда Ахилл добегает до того места, где первоначально находилась черепаха, та успевает уползти вперед на 10 м. За то время, которое требуется Ахиллу, чтобы пробежать эти 10 м, черепаха снова успевает уползти на какое-то расстояние. Черепаха: «Где тебе догнать меня, старина! Каждый раз, когда ты добежишь до того места, где я была, я успею уползти на какое-то расстояние вперед, хоть на толщину волоса!»
То есть какое бы расстояние ни оставалось между Ахиллом и черепахой, на преодоление этого расстояния, разумеется, потребуется некоторое время, а за это время черепаха продвинется еще вперед. В этой логике нет изъяна, но она самым очевидным образом противоречит нашему опыту.
Психопатический метод «решения»
Очень развит психопатический метод «решения» проблемы, причем прибегают к нему не только конченые эзотерики, но и ученые. Вот, например, «решение», предложенное одним академиком (!): «…на теоретическом уровне проблемы ограниченности, неограниченности, конечности, бесконечности, исчерпаемости, неисчерпаемости являются системными вопросами, и ответ на них на этом уровне не может носить абсолютного характера даже при наличии (абсолютного) ответа на уровне феноменологическом. Время необходимо рассматривать как совокупность разноуровневых потоков времени (с разной длиной волны, разными корпускулами), при этом движение точки тоже рассматривается как многоуровневое: разные ее аспекты перемещаются в разных потоках времени. Это позволяет снять парадоксальность апорий Зенона на пространственном уровне, перемещая ее на более высокие».
Как похоже на то, что пишут эзотерики, когда не могут (и не хотят) разбираться в своих восприятиях!
После того, как все это написано, автор формирует в себя уверенность в том, что он решил этот вопрос. А если кто-то не согласен — пусть попробует что-то возразить на сказанное им! А как возразишь, когда там просто бред? Возражать можно лишь на нечто осмысленное.
Метод чистого вытеснения
Самый распространенный среди думающих людей.
Иногда человек просто… вытесняет наличие парадокса! И считает это решением — это распространенный способ. Например пишут так: «… этот парадокс можно сформулировать более точно так: «Ахиллес никогда не догонит черепаху за время, меньшее двух секунд после начала состязания»! И уже не сама апория, а математические выкладки подскажут нам, что ровно через две секунды Ахиллес окажется в той же точке, что и черепаха. И никакого противоречия с опытом! Парадоксальность снята, противоречия в теории нет. Евклидова геометрия и классическая механика находятся вне зоны критики со стороны апорий.»
То есть автор попросту «забыл» о том, что проблема-то возникает тогда, когда мы с одной стороны делаем то, что сделал он — то есть просто делим расстояние на скорость и получаем время, за которое Ахилл догонит черепаху. А с другой стороны мы следуем столь же неопровержимой логике, столь же подтверждаемой на опыте, что для преодоления любого расстояния требуется время. Эта часть парадокса словно забыта, и возникает «решение». Довольно показательно, что вслед своему решению автор (тоже академик) забивает гвоздь бравурными гимнами — эти ПЭ должны помочь читателю вытеснить то, что проблема нерешена.
Метод посылания на толстый математический ххх
Самые умные ученые используют «доказательства» такого рода: «Многие специалисты согласились со знаменитым анализом парадоксов Зенона, данным Бертраном Расселом. По мнению Рассела, парадоксы Зенона не были удовлетворительно решены вплоть до появления теории бесконечных множеств Георга Кантора. Теория Кантора позволяет рассматривать бесконечные множества (будь то множества точек на прямой или мгновений времени) не как набор изолированных индивидуальных точек и событий, а как нечто целое. Суть парадоксов Зенона и состоит как раз в том, что ни пространственные отрезки, ни временные промежутки недопустимо рассматривать как состоящие из бесконечно большого числа дискретных членов, изолированных друг от друга, как следы на снегу. Решение парадоксов Зенона требует теории типа канторовской теории множеств, в которой наши интуитивные представления об отдельных точках и индивидуальных событиях объединены в систему — последовательную теорию бесконечных множеств.»
Здесь делается простой ход: хочешь понять «решение»? Иди в университет на математический факультет. Естественно, что многие люди думают: «ну, естественно, математика чертовски сложная наука, мне ее не осилить за всю жизнь, но математики, видимо, знают, что говорят, ведь математика — точная наука, и созданные с применением математики приборы работают».
Интересно, что те, кто окончил математические и физические факультеты, думают так: «да, это точно там можно все понять, но я-то учил все это поверхностно, чтобы экзамены сдать, и потом у нас был краткий курс, но те чистые математики, которые всю жизнь свою посвятили матанализу, теории функций и прочему, вот они-то уж конечно понимают, что этот парадокс как-то там решается».
Громкие слова про Рассела, Кантора, «многих специалистов» гипнотизируют даже самих математиков не хуже, чем домохозяек.
Между тем, математика — очень условно «точная наука», так как базируется на догмах. Да, приборы работают. Телевизор показывает, компьютер пиндюрит вовсю. Боле того, с помощью математических методов можно предсказать открытие новой планеты (и ее находят), новой элементарной частицы (и ее находят) и т.п. Но вот ЧТО ИМЕННО из этого следует? Это большой вопрос. Ведь наше общество, одним из кирпичиков в фундаменте которого является концепция о том, что старших надо уважать, что НЭ невозможно не испытывать — оно тоже живет, развивается, жиреет, технологии вон какие. Но что из этого следует?
Если взять как догму, что «старших надо уважать», отсюда уже несложно вывести, что маме надо почаще звонить и чаще ее слушаться и т.д. В математике — то же самое. Берется некая догма (причем иногда в этом отдается отчет, и тогда такую догму называют «аксиомой», но чаще всего в этом отчета и не отдается!), из которой впоследствии делаются более или менее непротиворечивые выводы.
Решение проблемы с парадоксом
(Обрати внимание — параграф называется не «решение парадокса», а «решение проблемы с парадоксом»)
На мой взгляд, решение проблемы с парадоксом крайне просто. Во-первых, необходимо признать, что Ахилл несомненно догонит и обгонит черепаху — это подтверждается и нашим повседневным опытом (ведь я могу обогнать черепаху), и той логикой, которая выводится из этого опыта — если умножить скорость Ахилла на необходимое время, то получившееся пройденное им расстояние будет больше, чем необходимо для того, чтобы догнать черепаху. Во-вторых, с той же уверенностью необходимо признать, что логика, согласно которой он никогда ее не догонит, совершенно верна, и также подтверждается нашим повседневным опытом, ведь в самом деле — преодоление любого расстояния требует некоторого времени. Отсюда — элементарный вывод: пространство не является совокупностью бесконечно малых частичек. Чем именно оно является? На этот вопрос вообще нет ответа и быть не может. Мы можем лишь сказать, что использование тех или иных представлений о пространстве и времени позволяют иногда нам предсказывать результаты экспериментов, создавать работающие приборы и т.д. Но у каждого представления есть свои пределы, переходя которые мы перестаем получать непротиворечивые результаты. Вот и все.
То есть пока Ахилла и черепаху (или их проекции) разделяет значительное расстояние (километр, метр, миллиметр), противоречий нет, парадокса нет. Но как только расстояние между ними (или их проекциями) сократится до так называемых квантовых величин, то логика бесконечного деления пространства уже не может быть применимой, и их дальнейшее движение необходимо уже рассматривать с позиций квантовой теории, так как мы начинаем рассматривать их перемещение на квантовые расстояния.
Вроде бы, это вполне ясно, и многие физики так и скажут в ответ на вопрос «что такое электрон» — «мы не знаем, что такое электрон, но у нас есть совокупность моделей, применение которых позволяет строить предположения, предсказывать результаты опытов, строить работающие приборы». Но перенести ту же ясность на нашу с вами обыденную жизнь, на наше с вами вот это такое обыденное пространство и время — этого как правило не получается. И свидетельством этому как раз и является то, что на протяжении тысяч (!!) лет толпы ученых так и не пришли к вот такому ясному решению: оба способа рассуждать верны в том смысле, что применяя их в разных областях мы получаем устраивающие нас результаты, тем не менее пространство не является совокупностью мелких частичек пространства, а вопрос «чем же оно является» попросту лишен смысла — на него невозможно ответить, не прибегнув к очередной модели, у которой опять таки обнаружатся свои границы применимости.
Требуется некоторое усилие искренности, и видимо — какое-то огромное усилие, чтобы изменить свою механическую уверенность в том, что пространство и время — что-то простое и ясное, и сменить ее на ясность в том, что это нечто таинственное. Желание довольства, обыденности перевешивает даже в случае воображаемого «чистого мышления», не говоря уже о том, что чем в большей степени человек считает себя ученым, умным, математиком, физиком, тем в большей степени он приходит в бешенство от того, что не может дать вразумительного объяснения, в то время как все остальные вроде как все «понимают». Круговая порука самообмана — обычное дело среди людей.
Последствия
Интересно, что Зенон, найдя такое противоречие, мог бы легко сделать вывод о том, что фактически он доказал, что пространство не является бесконечной совокупностью бесконечно малых частичек. Идея Кантора о том, что бесконечная сумма бесконечно малых может являться конечным числом (что якобы решает парадокс Зенона), не является «решением» парадокса, так как «решить» его вообще нельзя — тут просто нечего решать. Просто Кантор сказал — давайте «преодолеем» парадокс тем, что просто возьмем и докажем — бесконечная сумма бесконечно малых может являться конечным числом.
И доказать это совсем несложно — если взять 10 минут, за которые по расчетам скоростей Ахилл должен догнать черепаху, и разделить вторую половину пополам, а потом еще пополам и т.д. до тех пор, пока Ахилл не приблизится к черепахе бесконечно близко, то мы получим бесконечное число интервалов времени, каждый из которых короче предыдущего в 2 раза. Но если их сложить, то в сумме получатся те же исходные 10 минут. Это показывает, что суммы бесконечного количества величин могут быть конечны. Правда, при этом необходимо добавить, что сам математический аппарат суммирования бесконечных рядов допускает некоторые вольности со словом «бесконечность», без которых мы и не смогли бы никак получить этот результат. То есть в данном случае получается все наоборот — исходя из того, что мы точно уверены в том, что Ахилл догонит черепаху, мы и вводим в теорию бесконечных рядов (зачастую не отдавая себе в этом отчета) те аксиомы, которые и позволяют нам в итоге вывести то, что бесконечное сложение бесконечного ряда даст конечное число.
И такого рода «доказательство» никак не влияет на логику о том, что для преодоления определенного пространства требуется определенное время… На эту логику вообще никак, ничем повлиять нельзя, потому что она выражает наш несомненный опыт. То есть «доказательство» Кантора — все та же уловка вытеснения.
Парадокс Зенона доказывает, что гипотеза, согласно которой пространство является совокупностью бесконечно малых величин, ограничена в области своего применения, т.е. пространство не является такой совокупностью. Значит — вполне вероятно — что появится другая вполне обоснованная и рабочая теория, что пространство является совокупностью конечного числа частичек конечного размера, но сам характер взаимодействия этих частичек (вернее теории, описывающей это взаимодействие) будет чем-то в высшей степени необычным. Именно таковой и стала квантовая теория вкупе с теорией относительности, где с одной стороны размер элементарной частицы конечен, а с другой стороны в этой теории появились такие «чудеса», как квантовые скачки, принцип неопределенности, постоянная Планка, неизменность скорости света и пр. И согласно квантовой теории парадокс Зенона теряет свой смысл, так как черепаха не может продвинуться на бесконечно малое расстояние в силу того, что оно попросту отсутствует, как и отсутствует бесконечно малое количество энергии — в квантовой теории есть квант энергии, есть квант пространства, и части этого кванта не существует. Разумеется, это не означает, что мы не будем вынуждены придумать затем вслед новую теорию, которая будет устранять противоречия квантовой — так и произошло, и теперь есть теория кварков. А потом появилась теория суперструн. А потом появятся еще новые теории, которые будет устранять противоречия предыдущих, но тем не менее ответ на вопрос «что такое пространство, время, энергия и прочее» будет всегда одним и тем же — это неизвестно. Известно лишь, что оно не тождественно тем представлениям, которые мы используем, чтобы предсказывать новые открытия и строить работающие приборы.
Я считаю, что этот пример с парадоксом Зенона может облегчить достижение ясности в том, что описание мира, модель мира не тождественна самому этому миру. Когда ученый говорит «есть такая модель атома, что электрон крутится вокруг ядра», он, не отдавая себе в этом отчета, продолжает все-таки верить в то, что там что-то вокруг чего-то вертится.
Модификации
Можно придумать сколько угодно модификаций данного парадокса. Например такой: «поскольку летящая стрела в каждый момент времени покоится в определенной точке пространства, то она покоится все время, иными словами, она неподвижна, значит движения нет». Верно то, что стрела летит. Верно и то, что в каждый момент времени она находится в определенной точке пространства — зная ее скорость и время ее полета мы можем рассчитать эту точку. Значит — снова непреодолимое противоречие двух… МОДЕЛЕЙ. Отсюда вывод — пространство — это не то, что состоит из неких «точек», несмотря на то, что модель «точек пространства» очень удобна и функциональна. То же можно сказать и о времени = время — это не то, что состоит из «точек времени».
Любопытный вопрос
Мог ли Зенон, поразмыслив над своим парадоксом и добившись ясности в причинах его существования, предложить — в каком направлении может двинуться наука, чтобы те новые модели, которыми она будет оперировать, позволили бы обойти этот парадокс? Ведь если мы делаем вывод, например, что пространство не является бесконечной совокупностью бесконечно малых «точек», значит может быть в будущем в результате последующего развития технологий и получения новых экспериментальных данных возникнет такая модель, в которой существует минимальный квант пространства. Но «просто минимальный» квант не может быть составной частью новой, более совершенной модели, так как мы немедленно столкнемся с противоречиями в уже существующих логиках, которые ежедневно подтверждаются нашим опытом. Значит — должно быть попутно введено и такое необычное взаимодействие между ними, которое позволило бы преодолеть это противоречие. И ведь так и произошло — возникла квантовая теория и теория относительности с их квантами энергии, постоянной Планка, постоянством скорости света, принципом неопределенности, преобразованием Лоренца и всеми прочими деталями этих моделей, которые в итоге и позволили, с одной стороны, объяснить новые, необъяснимые ранее явления (начиная с фотоэффекта), а с другой стороны так состыковаться со старыми моделями, чтобы каждой нашлось свое место, своя ниша в общей картине мира.
Но нам сейчас трудно, да наверное просто невозможно абстрагироваться от всего того, что мы уже знаем о квантовой, кварковой, струнной теории вещества, поэтому этот мысленный эксперимент не может быть чистым и не так интересен. Гораздо интереснее другое — не можем ли мы взять существующее и поныне непреодолимое противоречие в каких-то моделях, и попробовать предположить — какие именно открытия будут совершены в будущем, которые приведут к созданию таких представлений, которые помогли бы избежать этого противоречия? И это сделать мы можем.
Движение невозможно. В частности, невозможно пересечь комнату, так как для этого нужно сначала пересечь половину комнаты, затем половину оставшегося пути, затем половину того, что осталось, затем половину оставшегося...
Зенон Элейский принадлежал к той греческой философской школе, которая учила, что любое изменение в мире иллюзорно, а бытие едино и неизменно. Его парадокс (сформулированный в виде четырех апорий (от греч. aporia «безвыходность»), породивших с тех пор еще примерно сорок различных вариантов) показывает, что движение, образец «видимого» изменения, логически невозможно.
Большинству современных читателей парадокс Зенона знаком именно в приведенной выше формулировке (ее иногда называют дихотомией — от греч. dichotomia «разделение надвое»). Чтобы пересечь комнату, сначала нужно преодолеть половину пути. Но затем нужно преодолеть половину того, что осталось, затем половину того, что осталось после этого, и так далее. Это деление пополам будет продолжаться до бесконечности, из чего делается вывод, что вам никогда не удастся пересечь комнату.
Апория, известная под названием Ахилл , еще более впечатляюща. Древнегреческий герой Ахилл собирается состязаться в беге с черепахой. Если черепаха стартует немного раньше Ахилла, то ему, чтобы ее догнать, сначала нужно добежать до места ее старта. Но к тому моменту, как он туда доберется, черепаха проползет некоторое расстояние, которое нужно будет преодолеть Ахиллу, прежде чем догнать черепаху. Но за это время черепаха уползет вперед еще на некоторое расстояние. А поскольку число таких отрезков бесконечно, быстроногий Ахилл никогда не догонит черепаху.
Вот еще одна апория, словами Зенона:
Если что-то движется, то оно движется либо в том месте, которое оно занимает, либо в том месте, где его нет. Однако оно не может двигаться в том месте, которое оно занимает (так как в каждый момент времени оно занимает все это место), но оно также не может двигаться и в том месте, где его нет. Следовательно, движение невозможно.
Этот парадокс называется стрела (в каждый момент времени летящая стрела занимает место, равное ей по протяженности, следовательно она не движется).
Наконец, существует четвертая апория, в которой речь идет о двух равных по длине колоннах людей, движущихся параллельно с равной скоростью в противоположных направлениях. Зенон утверждает, что время, за которое колонны пройдут друг мимо друга, составляет половину времени, нужного одному человеку, чтобы пройти мимо всей колонны.
Из этих четырех апорий первые три наиболее известны и наиболее парадоксальны. Четвертая просто связана с неправильным пониманием природы относительного движения.
Самый грубый и неизящный способ опровергнуть парадокс Зенона — это встать и пересечь комнату, обогнать черепаху или выпустить стрелу. Но это никак не затронет хода его рассуждений. Вплоть до XVII века мыслители не могли найти ключ к опровержению его хитроумной логики. Проблема была разрешена только после того, как Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц изложили идею дифференциального исчисления, которое оперирует понятием предел ; после того как стала понятна разница между разбиением пространства и разбиением времени; наконец, после того как научились обращаться с бесконечными и бесконечно малыми величинами.
Возьмем пример с пересечением комнаты. Действительно, в каждой точке пути вам надо пройти половину оставшегося пути, но только на это вам понадобится в два раза меньше времени . Чем меньший путь осталось пройти, тем меньше времени на это понадобится. Таким образом, вычисляя время, нужное для того, чтобы пересечь комнату, мы складываем бесконечное число бесконечно малых интервалов. Однако сумма всех этих интервалов не бесконечна (иначе пересечь комнату было бы невозможно), а равна некоторому конечному числу — и поэтому мы можем пересечь комнату за конечное время.
Такой ход доказательства аналогичен нахождению предела в дифференциальном исчислении. Попробуем объяснить идею предела в терминах парадокса Зенона. Если мы разделим расстояние, которое мы прошли, пересекая комнату, на время, которое мы на это потратили, мы получим среднюю скорость прохождения этого интервала. Но хотя и расстояние, и время уменьшаются (и в конечном счете стремятся к нулю), их отношение может быть конечным — собственно, это и есть скорость вашего движения. Когда и расстояние, и время стремятся к нулю, это отношение называется пределом скорости. В своем парадоксе Зенон ошибочно исходит из того, что, когда расстояние стремится к нулю, время остается прежним.
Но мое любимое опровержение парадокса Зенона связано не с дифференциальным исчислением Ньютона, а с цитатой из скетча «Второго города», комедийного театра в моем родном Чикаго. В этом скетче лектор описывает различные философские проблемы. Дойдя до парадокса об Ахилле и черепахе, он произносит следующее.
